Poker et Mathématiques (IV) : Esperance

On entend souvent le terme "espérance de gains" au poker...De quoi s'agit-il exactement ?

L'espérance est aux probabilités ce que la moyenne est aux statistiques.

L'espérance est en fait le gain moyen que vous pouvez espérer gagner lorsque vous jouez. Un exemple simple pour commencer : tout le monde connait le jeu de la boule au casino. Il y a 9 numéros (4 rouges, 4 noirs, et un jaune). Vous décidez de jouer une couleur, rouge ou noir. et de miser chaque fois 10 euros. Est-ce que ce jeu en vaut la peine ? Vous avez 4 chances sur 9 d'obtenir votre couleur et 5 chances sur 9 de ne pas l'obtenir. Votre espérance de gain est donc de (4/9)*10 + (5/9)*(-10) = - 10/9 soit environ - 1,11 euros. Donc en moyenne , vous perdrez de l'argent ! (le casino en gagnera).

Un autre exemple : vous jouez au pile ou face, votre espérance est nulle. Le but d'un joueur est donc de trouver des jeux à espérances positives ! Alors au poker ? on dit qu'un coup est correctement joué quand il est à espèrance positive.

Voici quelques exemples concrets :

Exemple 1 : dois-je payer un tapis ?
J'ai 1000 jetons, et je suis BB aux blinds 15-30. 4 joueurs devant moi partent à tapis. Ils me couvrent tous, j'ai AA. Que faire ? Je connais mes cotes, je sais que j'ai 37,5% de chances de gagner le coup et donc 4000 chips (les blinds sont dedans). J'ai 62,5% de chances de perdre 1000 chips (mon tapis). Mon espèrance est donc de 0,375*4000-0,625*1000=875 . c'est le nombre moyen de jetons que je peux espèrer gagner sur le long terme. Imaginons qu'au lieu d'avoir AA, j'ai 77, j'ai alors seulement 10% de chances de gagner 4000 et 90% de chances de perdre 1000. Mon espèrance est donc de 0,1*4000-0,9*1000= -500. Je perdrais donc en moyenne 500 jetons (la moitié de mon stack) avec ce call. A partir de quel cote peut-on payer ? Soit x notre pourcentage de chance de gagner. On a donc 1-x % de chance de perdre. L'espèrance serait donc 4000*x-(1-x)*1000=5000x-1000. On veut une espèrance positive. Donc 5000x-1000>0, soit x>0,2. Il faut donc avoir 20% de chances de gagner le coup pour que le call soit mathématiquement valide...

Exemple 2 : prendre en compte le fold de l'adversaire
J'ai 1200 de stacks, table 10 joueurs, blinds 20-40. Vous êtes au bouton et avez une image serrée. Un adversaire relance milieu de parole à 130 (il a 1000 de stack). Vous avez JcQc au bouton et vous décidez de payer. Le flop est 9sTc2h . Votre adversaire bet 200. Il y a donc au pot 520. vous mettez votre adversaire sur JJ,QQ,KK,AA;AK,AQ,AJ ou même 88. vous réfléchissez à le mettre à tapis. Vous pensez que vous serez payé dans 50% des cas et que donc votre adversaire va folder dans 50% des cas. Si vous êtes payés, vous estimez vos chances de gagner le coup à 35%. Donc au final , à l'instant où vous faites tapis, vous gagnez 1390 dans 0,5*35% des cas, 520 dans 50% des cas et vous perdez 870 dans 0,5*65 % des cas. Votre espèrance est donc de 0,175*1390+0.5*390 + 0,325*(-870)=220,5 >0. Le coup est donc mathématiquement justifié.

Exemple 3 : Déterminer son espérance à table

Un coup qui s'est produit en live au Pasino. Blinds 500/1000, Ante 100. Il y a donc 2500 au pot. Un short stack boite à 4200. Le chipleader en BB folde. Je lui dis que c'est une erreur, il me répond que non, pas avec cette main. Qui a raison ? Mettons nous à la place du chipleader. Nous avons 3200 à ajouter pour espérer gagner un pot qui en contient 2500+4200=6700. Soit x notre pourcentage de chance de gagner, 1-x est celui de perdre. Pour que notre call soit justifié, il faut que l'espérance de gain soit positive, donc 6700*x-3200*(1-x)>0. C'est à dire en fait :

x> (3200)/(6700+3200) ce qui représente 32,3%. Il suffit donc que nous ayons 32,3% de chances de gagner pour que le call soit rentable. Le call est donc évident. Gus Hansen fait tous ces calculs de tête ! comment fait-il ? il suffit finalement de déterminer une valeur approchée du quotient (mise à engager)/(pot TOTAL à ramasser). Ici de tête, c'est de l'ordre de 3/10 donc 30%... N'hésitez pas à vous entrainer, et n'oublier pas que dans le doute, ce sont les maths qui parlent !

Comme vous le constatez, l'espérance n'est pas toujours aisée à calculer autour d'une table ! cela nécessite aussi de l'entrainement et ne pas hésiter à la calculer après coup lors de l'analyse. ATTENTION, l'espèrance aide à prendre une décision, mais beaucoup d'autres facteurs entrent en compte. Pour finir, il faut savoir que moyenne et espèrance se rejoignent sur une très grande serie statistique. Exemple : vous avez jouer 2000 parties à 10$ sur internet. Votre gain moyen calculer est de 7$. Cela est aussi l'espérance et donc le gain moyen que vous pouvez espèrer gagner si vous poursuivez ce jeu.

Pour finir, on ne parle pas d'espérance sans variance, ce sera le prochain article.